数字电路基础

数字电路以离散的 0 与 1 表达与传递信息,理论基础是布尔代数。本篇梳理基本定律、常用门电路、真值表与卡诺图化简方法。

布尔代数基本定律

变量取值为 0 或 1,运算包括与(·)、或(+)、非(¬)。核心恒等式如下:

定律	表达式
交换律	A·B = B·A, A+B = B+A
结合律	(A·B)·C = A·(B·C)
分配律	A·(B+C) = A·B + A·C
摩根律	¬(A·B) = ¬A + ¬B, ¬(A+B) = ¬A · ¬B
吸收律	A + A·B = A, A·(A+B) = A
互补律	A + ¬A = 1, A · ¬A = 0

利用摩根律可实现与/或互换,例如 与非 门 + 非 门即可构成 与 门,这是通用门的设计依据。

基本门电路

• 与门 (AND):全 1 出 1。
• 或门 (OR):有 1 出 1。
• 非门 (NOT):取反。
• 与非 (NAND)、或非 (NOR):通用门,单独即可实现任意布尔函数。
• 异或 (XOR):相异出 1,表达式 A⊕B = A·¬B + ¬A·B,常用作半加器核心。
• 同或 (XNOR):相同出 1,A⊙B = ¬(A⊕B)。

真值表

真值表列出所有输入组合对应的输出。例如异或真值表:

A B | A⊕B
0 0 |  0
0 1 |  1
1 0 |  1
1 1 |  0

任意组合逻辑都可用真值表描述,进而写出最小项之和或最大项之积的表达式。

卡诺图化简

卡诺图是按格雷码排列的方格图,相邻方格只有一位不同,适合 2-4 变量化简。

• 三变量:2×4 网格,共 8 格。
• 四变量:4×4 网格,共 16 格。
• 化简规则:圈 1 写与项,圈 0 写或项,每个圈为 2 的幂次大小,圈越大项越简。

四变量示例 F(A,B,C,D) = Σm(0,1,2,3,4,5,6,7)
化简结果: F = A' + B'

卡诺图直观高效,但变量超过 4 时通常改用 Quine-McCluskey 算法。